\documentclass[10pt,a4paper]{article}
%%% taille 10 points et format de papier A4
%%% classe article

%%% Codage en unicode
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 

\usepackage{multicol}%%%         écriture en multicolonnes
\usepackage[normalem]{ulem}%%%   pour texte barré \sout{}
\usepackage[french]{babel}%%%    écriture en français
\DecimalMathComma%%%             évite l'espace après la virgule en mode math
\usepackage{multido}%%%          pour faire des boucles
\usepackage{pst-all,pst-eucl}%%% PsTricks et Euclide
\usepackage{graphicx}%%%         pour graphiques et couleurs	
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}%%% outils AMS
\usepackage{mathrsfs}%%%         police script \mathscr{}
\usepackage{tabularx}%%%         tableaux
\usepackage{fancybox}%%%         divers boîtes
\usepackage{lscape}%%%           mode paysage
\usepackage[np]{numprint}%%%     pour formater les nombres de plus de 3 chiffres
\usepackage{colortbl}%%%         pour griser des cases dans un tableau
\usepackage{makeidx}%%%          pour créer un index
\makeindex%%%                    indispensable après l'appel du package makeidx
\usepackage{lettrine}%%%         pour créer des lettrines
\usepackage{eurosym}%%%          sigle euro

\usepackage{vmargin}%%%          réglage des marges
\setmarginsrb{3cm}{2cm}{3cm}{2cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\setlength{\parindent}{0pt}%%% règle l'indentation en début de paragraphe 

%%%  Commandes perso FH

%%% Pour intégrale, somme et produit, etc.
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%%% raccourci pour \displaystyle

%%% ensembles de nombres
%%% On réservera le style "double barre" à l'écriture au tableau
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\Z}{\textbf{Z}}
\newcommand{\C}{\textbf{C}}
\newcommand{\Q}{\textbf{Q}}
\newcommand{\K}{\textbf{K}}

%%% différents repères
\newcommand{\Oij}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})}
\newcommand{\rep}{(O,I,J)}
\newcommand{\Ouv}{(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v})}
\newcommand{\Oijk}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\,,\,\vec{k})}

%%%  Courbe représentative
\newcommand{\Cr}[1]{\mathscr{C}_{#1}}

%%% crochets gauche et droit
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}

%%% crochet d'entiers
\newcommand{\cde}{\texttt{[}\!\!\texttt{[}}
\newcommand{\cge}{\texttt{]}\!\!\texttt{]}}

%%% inférieur ou égal, supérieur ou égal
\newcommand{\pg}{\geqslant}
\newcommand{\pp}{\leqslant}

\usepackage{fancyhdr}%%%       En-têtes et pieds de pages
\pagestyle{fancy}
\renewcommand\headrulewidth{1pt}%%% filet haut de page
\renewcommand\footrulewidth{0pt}%%% filet bas de page
\renewcommand{\headwidth}{\textwidth}
%%% head pour haut de page
%%% L C et R pour Left Center et Right
\fancyhead[L]{\url{http://latexetmath.canalblog.com}}
\fancyhead[R]{\today} %%% \today = date du jour
\fancyhead[C]{}
%%% foot pour pied de page
\fancyfoot[C]{\begin{small}-- \thepage\  --\end{small}}  
\fancyfoot[R]{}%%%     {\jobname}%%% nom du fichier tex
\fancyfoot[L]{\href{mailto:francois.hache@free.fr}{FH}}

%%% Pour les énumérations
%%% premier niveau 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%%% deuxième niveau
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%%% troisième niveau
\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\arabic{enumiii}}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii)}}
%%% permet d'avoir a. au lieu de (a) dans une énumération de niveau 2
%%% voir : http://cahiers.gutenberg.eu.org/cg-bin/article/CG_1994___17_32_0.pdf

\newenvironment{changemargin}[2]
{\begin{list}{}{%
\setlength{\topsep}{0pt}%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\setlength{\listparindent}{\parindent}%
\setlength{\itemindent}{\parindent}%
\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}
%%%% pour changer les marges gauche et droite sur un paragraphe
%%%% \begin{changemargin}{marge gauche}{marge droite}
%%%% ...
%%%% \end{changemargin}

\usepackage[ps2pdf]{hyperref}%%% pour les références

%%% paramètres des pdf
\hypersetup{
pdfauthor = {F. Hache},
pdftitle = {},
pdfstartview = FitH,
pdfcreator = {LaTeX vers PDF}
allbordercolors = white,
colorlinks=true,
linkcolor=red,
urlcolor=red,
unicode=true}

%%% Autres commandes qui doivent être définies après hyperref
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\renewcommand{\v}[1]{\overrightarrow{#1}}%%% vecteur

%%% définitions de nouvelles couleurs
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
\newrgbcolor{vb}{0 0.545 0}

\begin{document}

\part*{\centering Musique}

\vspace{1cm}

Le site de l'\href{http://www.apmep.fr/}{APMEP} propose un très grand nombre de sujets de baccalauréat, la plupart du temps avec leurs corrigés. 

Il y a même des séries peu connues comme TMD: Technologie de la Musique et de la Danse.

Dans les sujets de cette série se trouve souvent un exercice consacré à la gamme bien tempérée. On peut tout à fait proposer ce genre d'exercice dans d'autres séries.


\section*{Les outils mathématiques utilisés}

\begin{list}{\textbullet}{}

\item La fonction logarithme décimal.

\item Les suites géométriques.

\item Les puissances non entières.

\item Congruences.

\item Fréquence et période.

\end{list}


\medskip

\section*{L'essentiel}
 
\begin{list}{\textbullet}{Dans la gamme de tempérament égal:}

\item L'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes; cela se traduit mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$, où $q$ est le nombre réel strictement positif tel que : $q^{12} = 2$.

\item Les 12 notes d'une octave sont: 

\hfill{}DO - DO\# - RÉ - RÉ\# - MI - FA - FA\# - SOL - SOL\# - LA - LA\# - SI\hfill{}

\item À chaque octave est associé un indice $n$, qui est un entier naturel. Les notes d'une octave portent l'indice de cette octave ; ainsi LA$_3$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_4$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3.

\item La fréquence, exprimée en hertz (Hz), de la note LA$_3$ est 440.

\item Une tierce majeure contient 4 demi-tons, une quarte contient 5 demi-tons, et une quinte contient 7 demi-tons.

\end{list}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{Des définitions et des unités:}

\item Si un son possède une \textbf{intensité sonore} $I$ (exprimée en W.m$^{-2}$), son \textbf{niveau sonore} $L(I)$ est exprimé en décibels (dB) par $L(I) = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ avec $I_0 =  10^{- 12}$ W.m$^{- 2}$.

\item La \textbf{différence de hauteur} entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$ (avec $f_1 < f_2$) exprimées en hertz est le nombre $\np{1000} \log \left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)$ exprimé en savarts.

\end{list} 

\newpage

\section*{Un petit outil}

Ayant eu l'occasion de me pencher sur quelques sujets de la série TMD (disponibles \href{http://www.apmep.fr/TMD-15-sujets-1-corrige,2617}{ici}), je me suis créé un petit outil d'aide à la démonstration:

\bigskip

\begin{center}
\small
%%% unités en abscisse et ordonnée
\psset{unit=3cm}

%%% rectangle de tracé
\def\xmin {-1.5}   \def\xmax {1.5}
\def\ymin {-1.2}   \def\ymax {1.2}

%%% réservation du rectangle de tracé
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

%%% grille
%\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=gray!70] 

%%% axes
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 

%%% origine O
%\uput[dl](0,0){O}

%%% vecteurs unitaires
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)% première et terminale 

%%% vecteurs i et j
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}

%%% points I et J
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}% seconde

%%% cercle de centre O et de rayon 1
\pscircle(0,0){1}

%%% Les 6 diamètres
\multido{\ia=0+30,\ib=180+30}{6}
%%% \ia prend les valeurs   0,  30,  60,  90, 120 et 150
%%% \ib prend les valeurs 180, 210, 240, 270, 300 et 330
{
\psline(1;\ia)(1;\ib)
%%% le point virgule force les coordonnées en polaire
}

%%% nom des notes
\uput[0](1;0){DO} 			
\uput[30](1;30){DO\#} 	
\uput[60](1;60){RÉ}			
\uput[90](1;90){RÉ\#}		
\uput[120](1;120){MI}		
\uput[150](1;150){FA}		
\uput[180](1;180){FA\#}		
\uput[210](1;210){SOL}		
\uput[240](1;240){SOL\#}	
\uput[270](1;270){LA}		
\uput[300](1;300){LA\#}		
\uput[330](1;330){SI}		

%%% sens de lecture
\psarc[arrowscale=1.7,linecolor=red]{->}(0,0){1.5}{0}{40}

\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

Certes, on peut s'en passer, mais c'était l'occasion de faire une petite figure en PsTricks!

\bigskip

Et pour le fun, on peut même rajouter les noms des notes chez nos voisins britanniques. Pour se souvenir de la correspondance entre les deux systèmes, il suffit de se rappeler la note donnée par un diapason: c'est le LA, et c'est aussi la première note de la gamme anglaise: le A.


\bigskip

\begin{center}
\small
%%% unités en abscisse et ordonnée
\psset{unit=3cm}

%%% rectangle de tracé
\def\xmin {-1.5}   \def\xmax {1.5}
\def\ymin {-1.2}   \def\ymax {1.2}

%%% réservation du rectangle de tracé
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

%%% grille
%\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=gray!70] 

%%% axes
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 

%%% origine O
%\uput[dl](0,0){O}

%%% vecteurs unitaires
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)% première et terminale 

%%% vecteurs i et j
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}

%%% points I et J
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}% seconde

%%% cercle de centre O et de rayon 1
\pscircle(0,0){1}

%%% Les 6 diamètres
\multido{\ia=0+30,\ib=180+30}{6}
%%% \ia prend les valeurs   0,  30,  60,  90, 120 et 150
%%% \ib prend les valeurs 180, 210, 240, 270, 300 et 330
{
\psline(1;\ia)(1;\ib)
%%% le point virgule force les coordonnées en polaire
}

%%% nom des notes
\uput[0](1;0){DO} 			\uput*[180](1;0){\blue C} 
\uput[30](1;30){DO\#} 		\uput*[210](1;30){\blue C\#} 
\uput[60](1;60){RÉ}			\uput*[240](1;60){\blue D}
\uput[90](1;90){RÉ\#}		\uput*[270](1;90){\blue D\#}
\uput[120](1;120){MI}		\uput*[300](1;120){\blue E}
\uput[150](1;150){FA}		\uput*[330](1;150){\blue F}
\uput[180](1;180){FA\#}		\uput*[0](1;180){\blue F\#}
\uput[210](1;210){SOL}		\uput*[30](1;210){\blue G}
\uput[240](1;240){SOL\#}	\uput*[60](1;240){\blue G\#}
\uput[270](1;270){LA}		\uput*[90](1;270){\blue A}
\uput[300](1;300){LA\#}		\uput*[120](1;300){\blue A\#}
\uput[330](1;330){SI}		\uput*[150](1;330){\blue B}

%%% sens de lecture
\psarc[arrowscale=1.7,linecolor=red]{->}(0,0){1.5}{0}{40}

\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}